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高二下
數學

重點回顧

一分鐘準備段考

  • 基本定義和題型要「熟」，不是只要「會」
  • 解出一題難題勝過解十題簡單的題目，不要逃避不會的題目
  • 多做題目，培養對題型的解題感覺
  • 利用名師學院系列產品，反覆觀看、補強弱點

矩陣

一、矩陣的定義

1. 將一些數排列成矩形的陣列, 稱為「矩陣」。
2. 矩陣中同一水平線的各元稱為「列」；矩陣中同一鉛直線的各元稱為「行」。
3. 一個有 m 列、n 行的矩陣, 稱為「m × n 階矩陣」；若 m = n , 則又稱為「方陣」。
4. 「aij」代表矩陣中第 i 列, 第 j 行的元。
5. 將方程組的各項未知數係數列出排成的矩陣, 稱為「係數矩陣」。
6. 將方程組的「係數矩陣」再增設一行常數後, 稱為「增廣矩陣」。

二、矩陣的列運算

1. 將矩陣某列的每一元同乘以一個不為零的數。
2. 將矩陣某列的每一元同乘以不為零的數後, 再加至另一列的對應元。
3. 將矩陣的某兩列互換位置。

三、轉置矩陣

設矩陣轉置矩陣，轉置矩陣2，若轉置矩陣3，轉置矩陣4，轉置矩陣5，則稱 B 為 A 的轉置矩陣,以At 表之，即 B= At 。

四、矩陣加法的性質

1. A + B = B + A （交換律）
2. (A + B) + C = A + (B + C) （結合律）
3. A + O = O + A = A （加法單位元素）
4. A + (−A) = O （加法反元素）

五、矩陣係數積的性質

1. (−1) A = − A
2. 0 ‧ A = O
3. α (A + B) = αA +αB
4. (α + β )A = αA + βA
5. α (βA) = (αβ)A

六、轉置矩陣的性質

1. (At)t=A
2. (A+ B)T = AT + BT
3. (A− B)T = AT − BT

七、對稱矩陣

當矩陣 A 符合AT=A與aij=aji （對於所有的 1<=i , j<=n）, 則稱矩陣 A 為對稱矩陣。

八、反對稱矩陣

當矩陣 A 符合At=-A與aij=-aji （對於所有的 1<=i , j<=n）, 則稱矩陣 A 為反對稱矩陣。

九、對稱矩陣與反對稱矩陣的異同

1. 皆為方陣。
2. 對稱矩陣的主對角線各元無限制；而反對稱矩陣的主對角線各元必為 0 。

十、單位矩陣的性質

1. 單位矩陣的性質1
2. 單位矩陣的性質2
3. 單位矩陣的性質3

十一、矩陣的乘法性質

1. AB ≠ BA
2. A(BC) = (AB)C = ABC
3. A(B + C) = AB + AC
4. (A + B)C = AC + BC
5. 若An存在，則 A 為方陣
6. (A + B)平方= A平方 + AB + BA+ B平方
7. (I + B)平方 = I平方 + IB + BI + B平方 = I + 2B + B平方
8. (A + B)n次方 無二項式定理
9.
10. (rA)B = r(AB) , (rA)(sB) = (rs)(AB)

十二、二項式定理的應用

A、B 皆為 n 階方陣, I 為 n 階單位方陣

十三、若A 為一個轉移矩陣

若 A 為一個轉移矩陣, Xk 為由 X0 開始的第 k 次機率矩陣, 則：
1. A 中每一個元素為非負。
2. A 中每一行元素和為1。
3. Ak 亦為轉移矩陣。
4. 若 k 趨於無限大，Xk 會趨於一個穩定態 X , 則 AX = X 。

十四、反方陣與可逆方陣

1. 設矩陣 A 為 n 階方陣, 若矩陣 B 滿足 AB = BA = In , 則稱 B 為 A 的乘法反元素或反方陣, 記為B=A-1。
2. 具有反方陣的矩陣稱為可逆方陣。

十五、可逆方陣的性質與公式

設 A 、B、C 皆為可逆方陣且 A = A=[a b c d]，則：
1. A 的反方陣必唯一。
2. A 的行列式 det(A) ≠ 0
3. A-1=...
4.
5.
6.
7.

十六、方陣與聯立方程組

設 A = A=[a b c d]為可逆方陣, 則聯立方程組
聯立方程組

十七、矩陣與平移變換

1. 將坐標平面上的點 P , 沿 x 軸平移 h , 沿 y 軸平移 k，得新的坐標為 P' (x', y') ，則。
2. 亦稱為行坐標。
 矩陣與平移變換

十八、矩陣與旋轉變換

1. 將坐標平面上的點 P (x, y) , 繞原點逆時針旋轉，得新的點坐標為 P' (x',y' ) ,則
。

2. 旋轉矩陣為旋轉矩陣。

十九、矩陣與鏡射變換

1. 將坐標平面上的點 P (x, y) , 對 L（通過原點且斜角為) 鏡射後, 得新的坐標為 P' (x', y') , 則
。

2. 為鏡射矩陣。

二十、矩陣與伸縮變換

將坐標平面上的點 P (x, y) , 以原點為中心, 伸縮 k 倍 (k > 0) , 得新坐標為
P' (x', y') ,則 。

二十一、矩陣與推移變換

1. 將坐標平面上的點 P (x, y) , 沿 x 軸推移 y 坐標的 k 倍, 得新坐標為 P' (x',y'), 則
1. 將坐標平面上的點 P (x, y) , 沿 y 軸推移 x 坐標的 k 倍, 得新坐標為 P' (x',y'), 則

二十二、平面變換的性質

1. 有五種平移、旋轉、鏡射、伸縮與推移五種。
2. 其中以原點為中心的旋轉、伸縮、推移與過原點的直線為鏡射軸的鏡射均屬線性變換。
3. 平移、旋轉、鏡射等變換又稱為剛體變換, 其特性為形狀、大小、角度與面積均不改變。