• 正數與負數
  • 數線
  • 相反數與絕對值
  • 整數的加減法
  • 整數的乘除法與四則運算
  • 指數律
  • 科學記號

 


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重點提醒

負數的意義與記法。
數線的意義、畫法與坐標。
數的大小與在數線上的位置。
相反數與絕對值的意義。
正、負數的加減乘除運算。
整數的四則運算與規則。
學習指數律的記法與規則運算。
當底數是負數時,次方比較大小。
了解命數系統。
學習科學記號的使用,並計算科學記號的加減乘除四則運算。

正數與負數

1. 正、負數的意義: 在日常生活語言裡有很多相反的字,如:上與下、賺與賠、左與右、勝與負。常用符號「+」與「–」來區別,稱為性質符號。

2. 正數:大於 0 的數,叫做正數。

  • 1、2、3、4、…,叫做正整數,又稱為自然數
  • …,叫做正分數
  • 0.16、0.38、1.47、…,叫做正小數

3. 負數︰凡是小於 0 的數,叫做負數。

  • -1、-2、-3、…,叫做負整數
  • …,叫做負分數
  • -0.1、-2.36、-3.47、…,叫做負小數

4. 零

  • 0 既不是正整數,也不是負整數,故稱為中性數

數線

1. 意義︰一直線上,用數字來表示點的位置,這個數字稱為點的坐標,此直線就稱為數線。

2. 數線的三要素

  • 原點︰數線上的基準點,用 0 表示,記為 O 點
  • 方向︰一般而言,原點的右方為正向,並在數線的右端畫上箭頭;反之,原點的左方為負向
  • 單位長︰數線上以適當的長來表示 1 的長度,稱為單位長

3. 中點坐標︰數線上兩點 A(a)、B(b),則之中點M的坐標為

相反數與絕對值

1. 定義︰在數線上,位於原點的左右兩側,且與原點距離相等的兩點所代表的數互為相反數。

2. 相反數的延伸︰設 a 為任意數,則 a 與 -a 互為相反數。

  • 正數的相反數為負數,負數的相反數為正數
  • 0 的相反數為 0
  • 數線上,對稱於原點的兩數互為相反數

3. 絕對值的大小

  • 若a、b、c為正數,則 a>b>c ⇔ |a|>|b|>|c|
  • 若a、b、c為負數,則 a>b>c ⇔ |a|<|b|<|c|
  • 絕對值最小的數為 0,即 |a|≧0(a為任意數)

4. 絕對值的性質

  • |x|﹦a⇒
  • 當 a≥0 時,則 |a|﹦a
  • 當 a<0 時,則 |a|﹦-a
  • 當 a≥b 時,則 |a-b|﹦a-b
  • 當 a<b 時,則 |a-b|﹦b-a
  • |x|﹦|-x|
  • |a-b|﹦|b-a|
  • |a| + |b|﹦0⇔a﹦0且b﹦0

整數的加減法

1. 符號法則

2. 當「–」連續出現︰

  • 奇數個「–」 ⇒ 其結果為「–」
  • 偶數個「–」 ⇒ 其結果為「+」

整數的乘除法與四則運算

 

1.乘法運算規則

  • (+a)×(+b)=+(a×b)
  • (+a)×(-b)=-(a×b)
  • (-a)×(+b)=-(a×b)
  • (-a)×(-b)=+(a×b)

2.乘法的性質

  • 乘法交換律:甲×乙=乙×甲
  • 乘法結合律:甲×乙×丙=(甲×乙)×丙=甲×(乙×丙)

3.除法運算規則

  • (+a)÷(+b)=+(a÷b)
  • (+a)÷(-b)=-(a÷b)
  • (-a)÷(+b)=-(a÷b)
  • (-a)÷(-b)=+(a÷b)

口訣
偶數個負數相乘(除)⇒結果為正數
奇數個負數相乘(除)⇒結果為負數

 

4. 四則運算的重要規則︰

  • 有括號時,依小括號、中括號、大括號順序計算
  • 先乘除、後加減
  • 由左而右運算

5. 分配律

若a、b、c為任意數,則:

  • a×(b+c)=a×b+a×c
  • (b+c)×a=b×a+c×a
  • a×(b-c)=a×b-a×c
  • (b-c)×a=b×a-c×a

6. 去括號法則

若 a、b、c 為任意數,則:

  • a+(b+c)=a+b+c
  • a+(b-c)=a+b-c
  • a-(b+c)=a-b-c
  • a-(b-c)=a-b+c

7.數線上的距離與中點

假設數線上有兩點A(a)、B(b),則:

  • A(a)、B(b)的距離= |a-b|
  • A(a)、B(b)的中點M的坐標為

指數律

1. 指數的記法︰若a≠0,a×a×a×a=,其中 a 為底數,4 為指數,讀作「a 的四次方」。

口訣
 

2. 指數律的規則︰已知 a、b 是不為 0 的數,且 m、n 為正整數,則:

  • (底數相同時,兩數相乘,指數相加)
  • (底數相同時,兩數相除,指數相減)
  • (指數為次數關係時,指數相乘)

3.

4.

5.

6. 無意義

7. 次方比大小︰當底數為負數時,先比較正數大小,再比較負數大小。而當底數為正數時,可分兩種情況來討論︰

  • 指數相同,底數不同
  • 底數相同,指數不同
    a. 若
    b. 若

科學記號

1. 科學記號︰ 利用指數記法,將一個數寫成,其中 1≤a<10,即 a 是採用小數記錄的,m 是整數;像這樣的記數方式,我們稱之為「科學記號」。

2. 科學記號的計算

  • 乘法︰
  • 除法︰,其中b≠0
  • 加減法︰

3. 位數的計算

  • 若將甲表示成科學記號(其中 m>0),則甲有 m+1 位數。
  • 若將乙表示成科學記號(其中 m>0),則乙的小數點後第 m 位開始不為 0